Jupyter Notebook desenvolvido por Gustavo S.S.
Um indutor consiste em uma bobina de fio condutor.
Qualquer condutor de corrente elétrica possui propriedades indutivas e pode ser considerado um indutor. Mas, para aumentar o efeito indutivo, um indutor usado na prática é normalmente formado em uma bobina cilíndrica com várias espiras de fio condutor, conforme ilustrado na Figura 6.21.
Ao passar uma corrente através de um indutor, constata-se que a tensão nele é diretamente proporcional à taxa de variação da corrente
\begin{align} {\Large v = L \frac{di}{dt}} \end{align}onde L é a constante de proporcionalidade denominada indutância do indutor.
Indutância é a propriedade segundo a qual um indutor se opõe à mudança do fluxo de corrente através dele, medida em henrys (H).
A indutância de um indutor depende de suas dimensões físicas e de sua construção.
\begin{align} {\Large L = \frac{N^2 µ A}{l}} \end{align}onde N é o número de espiras, / é o comprimento, A é a área da seção transversal e µ é a permeabilidade magnética do núcleo
Relação Tensão-Corrente:
\begin{align} {\Large i = \frac{1}{L} \int_{t_0}^{t} v(τ)dτ + i(t_0)} \end{align}Potência Liberada pelo Indutor:
\begin{align} {\Large p = vi = (L \frac{di}{dt})i} \end{align}Energia Armazenada:
\begin{align} {\Large w = \int_{-∞}^{t} p(τ)dτ = L \int_{-∞}^{t} \frac{di}{dτ} idτ = L \int_{-∞}^{t} i di} \end{align}\begin{align} {\Large w = \frac{1}{2} Li^2} \end{align}Um indutor atua como um curto-circuito em CC.
A corrente através de um indutor não pode mudar instantaneamente.
Assim como o capacitor ideal, o indutor ideal não dissipa energia; a energia armazenada nele pode ser recuperada posteriormente. O indutor absorve potência do circuito quando está armazenando energia e libera potência para o circuito quando retorna a energia previamente armazenada.
Um indutor real, não ideal, tem um componente resistivo significativo, conforme pode ser visto na Figura 6.26. Isso se deve ao fato de que o indutor é feito de um material condutor como cobre, que possui certa resistência denominada resistência de enrolamento Rw, que aparece em série com a indutância do indutor. A presença de Rw o torna tanto um dispositivo armazenador de energia como um dispositivo dissipador de energia. Uma vez que Rw normalmente é muito pequena, ela é ignorada na maioria dos casos. O indutor não ideal também tem uma capacitância de enrolamento Cw em decorrência do acoplamento capacitivo entre as bobinas condutoras. A Cw é muito pequena e pode ser ignorada na maioria dos casos, exceto em altas frequências
Exemplo 6.8
A corrente que passa por um indutor de 0,1 H é i(t) = 10te–5t A. Calcule a tensão no indutor e a energia armazenada nele.
In [2]:
print("Exemplo 6.8")
import numpy as np
from sympy import *
L = 0.1
t = symbols('t')
i = 10*t*exp(-5*t)
v = L*diff(i,t)
w = (L*i**2)/2
print("Tensão no indutor:",v,"V")
print("Energia:",w,"J")
Problema Prático 6.8
Se a corrente através de um indutor de 1 mH for i(t) = 60 cos(100t) mA, determine a tensão entre os terminais e a energia armazenada.
In [3]:
print("Problema Prático 6.8")
m = 10**-3 #definicao de mili
L = 1*m
i = 60*cos(100*t)*m
v = L*diff(i,t)
w = (L*i**2)/2
print("Tensão:",v,"V")
print("Energia:",w,"J")
Exemplo 6.9
Determine a corrente através de um indutor de 5 H se a tensão nele for
v(t):
30t^2, t>0
0, t<0
Determine, também, a energia armazenada no instante t = 5s. Suponha i(v)>0.
In [4]:
print("Exemplo 6.9")
L = 5
v = 30*t**2
i = integrate(v,t)/L
print("Corrente:",i,"A")
w = L*(i.subs(t,5)**2)/2
print("Energia:",w,"J")
Problema Prático 6.9
A tensão entre os terminais de um indutor de 2 H é v = 10(1 – t) V. Determine a corrente que passa através dele no instante t = 4 s e a energia armazenada nele no instante t = 4s. Suponha i(0) = 2 A.
In [11]:
print("Problema Prático 6.9")
L = 2
v = 10*(1 - t)
i0 = 2
i = integrate(v,t)/L + i0
i4 = i.subs(t,4)
print("Corrente no instante t = 4s:",i4,"A")
p = v*i
w = integrate(p,(t,0,4))
print("Energia no instante t = 4s:",w,"J")
Exemplo 6.10
Considere o circuito da Figura 6.27a. Em CC, determine:
(a) i, vC e iL;
(b) a energia armazenada no capacitor e no indutor.
In [13]:
print("Exemplo 6.10")
Req = 1 + 5
Vf = 12
C = 1
L = 2
i = Vf/Req
print("Corrente i:",i,"A")
#vc = tensao sobre o capacitor = tensao sobre resistore de 5ohms
vc = 5*i
print("Tensão Vc:",vc,"V")
print("Corrente il:",i,"A")
wl = (L*i**2)/2
wc = (C*vc**2)/2
print("Energia no Indutor:",wl,"J")
print("Energia no Capacitor:",wc,"J")
Problema Prático 6.10
Determine vC, iL e a energia armazenada no capacitor e no indutor no circuito da Figura 6.28 em CC.
In [14]:
print("Problema Prático 6.10")
Cf = 10
C = 4
L = 6
il = 10*6/(6 + 2) #divisor de corrente
vc = 2*il
wl = (L*il**2)/2
wc = (C*vc**2)/2
print("Corrente il:",il,"A")
print("Tensão vC:",vc,"V")
print("Energia no Capacitor:",wc,"J")
print("Energia no Indutor:",wl,"J")
A indutância equivalente de indutores conectados em série é a soma das indutâncias individuais.
\begin{align} L_{eq} = L_1 + L_2 + ... + L_N = \sum_{i = 1}^{N}L_i \end{align}A indutância equivalente de indutores paralelos é o inverso da soma dos inversos das indutâncias individuais.
\begin{align} L_{eq} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + ... + \frac{1}{L_N} = (\sum_{i = 1}^{N} \frac{1}{L_i})^{-1} \end{align}Ou, para duas Indutâncias:
\begin{align} L_{eq} = \frac{L_1 L_2}{L_1 + L_2} \end{align}Exemplo 6.11
Determine a indutância equivalente do circuito mostrado na Figura 6.31.
In [15]:
print("Exemplo 6.11")
Leq1 = 20 + 12 + 10
Leq2 = Leq1*7/(Leq1 + 7)
Leq3 = 4 + Leq2 + 8
print("Indutância Equivalente:",Leq3,"H")
Problema Prático 6.11
Calcule a indutância equivalente para o circuito indutivo em escada da Figura 6.32.
In [16]:
print("Problema Prático 6.11")
def Leq(x,y): #definicao de funcao para calculo de duas indutancias equivalentes em paralelo
L = x*y/(x + y)
return L
Leq1 = 40*m + 20*m
Leq2 = Leq(30*m,Leq1)
Leq3 = Leq2 + 100*m
Leq4 = Leq(40*m,Leq3)
Leq5 = 20*m + Leq4
Leq6 = Leq(Leq5,50*m)
print("Indutância Equivalente:",Leq6,"H")
Exemplo 6.12
Para o circuito da Figura 6.33,
i(t) = 4(2 – e–10t) mA.
Se i2(0) = –1 mA, determine:
(a) i1(0);
(b) v(t), v1(t) e v2(t);
(c) i1(t) e i2(t).
In [23]:
print("Exemplo 6.12")
i = 4*(2 - exp(-10*t))*m
i2_0 = -1*m
i1_0 = i.subs(t,0) - i2_0
print("Corrente i1(0):",i1_0,"A")
Leq1 = Leq(4,12)
Leq2 = Leq1 + 2
v = Leq2*diff(i,t)
v1 = 2*diff(i,t)
v2 = v - v1
print("Tensão v(t):",v,"V")
print("Tensão v1(t):",v1,"V")
print("Tensão v2(t):",v2,"V")
i1 = integrate(v1,(t,0,t))/4 + i1_0
i2 = integrate(v2,(t,0,t))/12 + i2_0
print("Corrente i1(t):",i1,"A")
print("Corrente i2(t):",i2,"A")
Problema Prático 6.12
No circuito da Figura 6.34,
i1(t) = 0,6e–2t A.
Se i(0) = 1,4 A, determine:
(a) i2(0);
(b) i2(t) e i(t);
(c) v1(t), v2(t) e v(t).
In [26]:
print("Problema Prático 6.12")
i1 = 0.6*exp(-2*t)
i_0 = 1.4
i2_0 = i_0 - i1.subs(t,0)
print("Corrente i2(0):",i2_0,"A")
v1 = 6*diff(i1,t)
i2 = integrate(v1,(t,0,t))/3 + i2_0
i = i1 + i2
print("Corrente i2(t):",i2,"A")
print("Corrente i(t):",i,"A")
Leq1 = Leq(3,6)
Leq2 = Leq1 + 8
v = Leq2*diff(i)
v2 = v - v1
print("Tensão v1(t):",v1,"V")
print("Tensão v2(t):",v2,"V")
print("Tensão v(t):",v,"V")